Родился 9 декабря 1900 года в г. Ставрополе.
В 1918 году поступил на медицинский факультет Донского университета (г. Ростов-на-Дону). После первого года обучения был мобилизован белыми и с 1919 по 1920 год служил фельдшером местного военного лазарета в г. Ставрополе. В апреле 1920 г. добровольно вступил в ряды Красной Армии – был фельдшером Красного Креста в больнице г. Туапсе, затем (1920-1923 гг.) – начальником санитарной части 102-й бригады 34-й дивизии 9-й армии. Воевал на Кубани и Черноморском побережье.
После Гражданской войны возобновил учебу в университете. В 1925 году получил диплом врача по специальности «психоневрология». В 1925-1927 годах – ординатор психиатрической клиники медицинского факультета Донского университета. В 1927 году стал главным врачом Ставропольской психиатрической больницы.
В учебном 1940-1941 году А.Я. Доршт по совместительству работал в Ставропольском медицинском институте в качестве ассистента психиатрической клиники.
В начале войны был назначен начальником эвакогоспиталя № 2151 в г. Ставрополе. Во время налета вражеской авиации на город 3 августа 1942 года принял меры к спасению раненых, штата сотрудников и госпитального имущества, организовал помощь пострадавшим от вражеской бомбардировки и вышел с личным составом из оккупированного города.
Среди личного состава и раненых А.Я. Доршт организовал сбор средств на строительство санитарных самолетов. На эту инициативу откликнулся сам И.В. Сталин. Его обращение с приветом личному составу госпиталя было опубликовано в центральной газете.
В октябре 1943 года подполковник А.Я. Доршт – начальник ЭГ-3219 в г. Краснодаре. Здесь он на высоком уровне поставил клиническую сортировку раненых и эвакуацию по назначению. Лично присутствовал во время погрузки раненых на санитарный поезд и строго следил за тем, чтобы тяжелораненые занимали места согласно транспортной характеристике. За период с ноября по май госпиталь эвакуировал в тыл для дальнейшего лечения 14 277 человек.
После войны вернулся в Ставрополь, стал главным врачом психиатрической больницы, профессором и заведующим кафедрой психиатрии в Ставропольском медицинском институте.
Награжден орденами Ленина, Трудового Красного Знамени, Красной Звезды, Отечественной войны II степени, медалями «За оборону Кавказа», «За победу над Германией» и другими наградами.
Умер в 1975 году. Похоронен в Ставрополе.