Абрам Тимофеевич Могильницкий родился в июле 1891 года в г. Пятигорске Ставропольской губернии.
В 1908 году окончил Ставропольскую мужскую гимназию и до марта 1914 года обучался на медицинских факультетах Берлинского и Киевского университетов.
В октябре 1914 года был мобилизован и служил рядовым в 112-м запасном батальоне, размещавшемся в Ставрополе. В марте 1915 года был назначен старшим врачом 115-го полка, воевавшего на Кавказском фронте. С сентября 1917 по июнь 1918 года Абрам Тимофеевич – старший ординатор военного госпиталя в г. Баку.
В годы Гражданской войны работал в одном из ставропольских госпиталей, который входил в состав Добровольческой армии. С приходом в Ставрополь советской власти в феврале 1920 года становится старшим врачом военного госпиталя Красной Армии.
После демобилизации с марта 1923 года работал в Ставропольском территориальном окружном отделе здравоохранения судебно-медицинским экспертом. В 1930 году прошел курсы усовершенствования по судебной медицине в Москве. С сентября 1930 года заведовал учебной частью и одновременно преподавал в Ставропольском медицинском техникуме. В декабре 1933 года стал директором техникума, продолжая преподавать в нем. После перевода техникума в Пятигорск с ноября 1937 года исполнял обязанности доцента в Ставропольском педагогическом институте.
В июне 1938 года был назначен первым директором Ставропольского (тогда – Ворошиловского) медицинского института. Одновременно проводил занятия в институте в качестве ассистента.
В марте 1941 года был переведен на должность заведующего городской физиолечебницей, а в октябре того же года (после начала войны) стал главным врачом городской больницы. Однако уже в декабре 1941 года получил новое назначение – старшим государственным санитарным инспектором городского отдела здравоохранения. В годы войны мобилизован не был по возрасту, тем не менее, находясь в запасе, имел воинское звание военврача 2 ранга.
В связи с захватом фашистами города Ворошиловска эвакуировался в г. Ташкент, где работал на аналогичной должности, а уже в октябре 1943 года вернулся на прежнее место в освобожденный Ставрополь.
С декабря 1943 по август 1945 года по совместительству работал ассистентом кафедры судебной медицины и исполнял обязанности заведующего кафедрой. В послевоенные годы резко ухудшилось состояние его здоровья, наступила почти полная слепота.
Умер в марте 1972 года. Похоронен в Ставрополе.