Родился в 1918 году на Украине в г. Александрия Кировоградской области. Член ВКП(б).
1 августа 1942 года по ускоренной программе окончил Ворошиловский (Ставропольский) медицинский институт и получил диплом врача. На следующий день – 2 августа был призван в Красную Армию Моздокским районным военкоматом.
Служил в 84-м гвардейском стрелковом полку 33-й гвардейской стрелковой дивизии командиром санитарной роты.
Воевал на Сталинградском, 4-м Украинском, 1-м Прибалтийском и 3-м Белорусском фронтах. За период боевых действий полка с декабря 1942 года, будучи младшим врачом полка и командиром санитарной роты, проявил большую заботу о раненых и больных, в любое время оказывая им необходимую медицинскую помощь.
При освобождении Крыма гвардии старший лейтенант м/с Шульгин в боях на реке Молочной показал себя самоотверженным и опытным командиром подразделения. С декабря 1942 по май 1944 года оказал квалифицированную медицинскую помощь 1085 раненым бойцам и 128 офицерам. В условиях полкового медицинского пункта им были приняты все возможные меры для спасения жизни бойцам и офицерам. Только за период боев при освобождении Крыма им была оказана медицинская помощь 208 раненым бойцам и офицерам, в том числе проведено 12 операций по удалению инородных тел. За смелость и отвагу, неутомимую энергию и проявленную личную инициативу при оказании помощи раненым в июне 1944 года был награжден орденом Красной Звезды.
За короткий период с 27 января по 11 февраля 1945 года во время действий полка в Трутенау, Зудау, Зиндлунг, Транквитц, Меткенен и других районах санитарная рота под командованием С.Т. Шульгина вынесла с поля боя 164 тяжелораненых бойца и офицера с их оружием, сделала 17 сложных операций. Рота оказала первую медицинскую помощь и эвакуировала в тыл на излечение 349 раненых. Благодаря вниманию и заботе со стороны капитана м/с Шульгина большое количество раненых досрочно вернулись в строй защитников Родины. 8 апреля 1945 года он был награжден орденом Отечественной войны II степени.
В боях на территории Восточной Пруссии гвардии капитан медицинской службы С.Т. Шульгин проявил мужество и отвагу. 12 апреля 1945 года в районе населенного пункта Гросс Хольштайн при оказании помощи раненым во время артналета противника был смертельно ранен. Умер на следующий день в 37-м гвардейском отдельном медико-санитарном батальоне. Первичное место захоронения – н.п. Гросс-Хольштайн (по другим данным – Килин-Фридзинберг), Восточная Пруссия.
Посмертно был награжден орденом Отечественной войны I степени.